Introduction

Les artistes en infographie se croient à l’abri des mathématiques car ils pensent que leur art est suffisant. Dans certains cas, c’est vrai. Cependant, s’ils veulent aller plus loin et se diversifier, ils doivent comprendre pourquoi on utilise des formules, du binaire, de l’hexadécimal… Je vais tenter d’y aider ceux qui veulent sortir de leur zone de confort.

Je vais vous aider à comprendre les outils arithmétiques qui vont vous permettre d’utiliser les opérations avec un ordinateur. Il est intéressant de comprendre comment on compte en base décimale, binaire et hexadécimale. Ces méthodes sont très utilisées en informatique.

La base en arithmétique

Qu’est-ce qu’une base en arithmétique ?

C’est un outil qui permet de créer un système de comptage avec une hiérarchie. Le but est de pouvoir écrire et lire des nombres. Pour cela les mathématiciens ont créé un procédé que nous utilisons de nos jours de manière quasiment naturelle.

Certains d’entre vous on peut-être oublié comment les nombres sont composés alors que nous avons tous vu cela plusieurs fois en cours de primaire.

Généralité :

• On commence par créer des éléments entiers (sont exclus : quotien, nombre à virgule, puissance, carré…) dans un ensemble;
  
• On donne un nom ou plusieurs noms aux éléments;
  
• On définit un ordre de grandeur de ces éléments;
  
• Un nombre est composé de ces éléments;
  
• Le principe est d’utiliser un tableau en plaçant les éléments dans des colonnes.

Exemple avec notre système numérique :

• On commence par créer des éléments dans un ensemble : 9, 1, 5, 4, 0, 7, 2, 8, 3, 6;
  
• On donne un nom à ces éléments : chiffres;
  
• On définit un ordre de grandeur de ces éléments : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9;
  
• Un nombre est composé de ces éléments, exemple : 12 570 029;
  
• Le principe est d’utiliser un tableau en plaçant les éléments dans des colonnes que nous verrons plus loin.

Convention de notation

En sciences et maths, pour que la lecture soit la plus simple et fluide possible, on indique la base en indice :

• 100 1110 1100 1010 ₂ => indique que c’est un nombre binaire
  
• 100 111 011 001 010 ₁₀ => indique que c’est un nombre décimale;
  
• 2970 ₁₀ => indique que c’est un nombre décimale;
  
• 1FFA ₁₆ => indique que c’est un nombre hexadécimale;
  
• 57013675 ₈ => indique que c’est un nombre octale;
  
• 12432150 ₂ => n’est pas possible, car on devrait être dans une base binaire : qu’avec des 0 et 1.
  

En informatique, il existe des conventions différentes : Base arithmétique, notations courantes

Conclusion

Une base permet alors de travailler dans un système afin de réaliser des opérations de calcul.
Les opérations les plus communes sont : addition, soustraction, multiplication et division.
A partir de ces 4 opérations de bases il sera possible d’en créer d’autres : carré, modulo, racine carré, factorielle…

Certaines bases sont plus adaptées que d’autres lorsqu’il s’agit d’effectuer des calculs rapides, lisibles ou complexes.

La base 10

La base 10 est ce qu’on appelle également la base décimale (déci, déca = dix, 10).
C’est celle qu’on utilise depuis que nous sommes enfants. Elle permet de comprendre les sciences et l’économie qui nous entoure.

Les éléments de la base 10 sont constitués de 10 chiffres avec la hiérarchie suivante :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9

Afin d’utiliser ces éléments et de pouvoir effectuer des calculs nous devons utiliser une convention d’écriture.
Nous savons tous qu’un nombre est composé de chiffres.
Le chiffre le moins significatif, ou étant le plus faible est le plus à droite.
Le chiffre le plus significatif, ou étant le plus fort est le plus à gauche.

Chaque colonne a un poids, plus on se décale vers la gauche et plus le poids augmente.
Dans le nombre 1337, le chiffre 7 est le plus faible et 1 est le plus fort.
7 fait partie des unités = 7
1 fait partie des mille = 1000
Pour recomposer le nombre il suffit de multiplier le chiffre avec le poids de la colonne correspondante.
1 x 1000 + 3 x 100 + 3 x 10 + 7 = 1000 + 300 + 30 + 7 = 1337

La base 2

La base 2 ou base binaire, a le même fonctionnement que la base 10.
A la différence que le nombre d’éléments est réduit à 2. 2 chiffres avec la hiérarchie suivante : 0 et 1.
Dans le tableau de la base binaire, on ne peut mettre que 0 ou 1. Ce qui correspond à l’état électrique d’un circuit dans un ordinateur : éteint ou allumé.

Pour transcoder le nombre 010001011111101 ₍₂₎ en décimale il faut effectuer le calcul suivant :
1 x 8192 + 1 x 512 + 1 x 128 + 1 x 64 + 1 x 32 + 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 1 = 8 957

En base binaire, pour organiser les nombres on les range par groupe de 4 bits (quartet) ou 8 bits (octet).
010001011111101 ₍₂₎ peut donc s’écrire 010 0010 1111 1101 ₍₂₎ ou 0100010 11111101 ₍₂₎ pour plus de « lisibilité ».

La base 16

En base 16 ou base hexadécimale, il existe 16 éléments composés de chiffres et de lettres dans cet ordre :

Pour transcoder 1AF ₍₁₆₎ en décimal :
1 x 256 + A x 16 + F x 1 = 1 x 256 + 10 x 16 + 15 x 1 = 256 + 160 + 15 = 431

Codage, décodage et transcodage

Le codage

Le codage est l’action de changer un nombre de la base 10 vers n’importe quelle autre base. Comme le nombre n’est plus lisible, pour quelqu’un qui n’est pas habitué à lire dans une base différente de 10, c’est pourquoi on parle de codage.

Le décodage

Le décodage est l’action de changer un nombre de n’importe quelle base en base 10. Le nombre devient lisible par tout le monde en base 10, d’où : décodage.

Le transcodage

Le transcodage est l’action de changer un nombre d’une base vers n’importe quelle autre base, excepté la base 10. Exemple : Base 5 => base 22, d’où le nom de transcodage avec cette notion de transfert sans passer par la base 10.

Transcodage particulier base 2 <=> base 16

Voici la raison pour laquelle les ingénieurs informaticiens ont choisi de travailler en base binaire et en base hexadécimale.

La particularité est qu’on peut passer d’une base à l’autre rapidement et facilement. De plus la lisibilité est améliorée en hexa.

Exemple :

Base N

En math, on utilise des lettres pour symboliser une valeur inconnue ou une valeur au hasard. La Base N correspond à une base que l’on peut inventer tout simplement en appliquant les règles énumérées à la section La base en arithmétique. C’est donc une base avec N éléments dont il faudra établir les règles.

Si vous avez compris le principe des bases arithmétiques, il est alors possible de recréer n’importe quelle base et travailler avec.